Support Scolaire SE : Mathématiques

Identités Remarquables :

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b) x (a - b) = a² - b²

Suite Géométrique (Formule de Capitalisation) :

V = Valeur
Vo = Valeur d'origine
V1 = Valeur au bout d' 1 année
i = taux d'intérêt annuel
I = montant des intérêts annuels
n = durée de capitalisation annuel

I = V x i
au bout d'une année, on a I = Vo x i
V1 = Vo + I
V1 = Vo + (Vo x i)
V1 = Vo + Vo x i
V1 = Vo x 1 + Vo x i
V1 = Vo x (1 + i)

V2 = Vo x (1 + i)²

Vn = Vo x (1 + i) puissance n

Logarithme Népérien et Exponentiel :

ln.(e.√e) = ?

1) Soit a² x a³ = a²+³ , et ln(e) = 1
ln.(e.√e) = ln.(e¹.e½) = ln.(e3/2) =
3/2.ln.(e) = 3/2.1 = 3/2

2) Soit ln.ab = ln(a) + ln(b)
ln.(e.√e) = ln(e) + ln(√e) = 1 + ln(e½) = 1 + 1/2 ln(e) =
1 + 1/2.1 = 1 + 1/2 = 2/2 + 1/2 = 3/2

2.ln(x) - 1 = 0 ; x = ?

1) Soit ln(xª) = a.ln(x) , et e.ln = 1
2.ln(x) - 1 = 0
ln(x²) = 1
e.ln(x²) = e(1)
1.(x²) = e¹
x² = e
x = √e

2) Soit √e = e½ , et ln.e = 1
2.ln(x) - 1 = 0
2.ln(x) = 1
ln(x) = 1/2
e.ln(x) = e(1/2)
1.(x) = e½
x = √e

Waou que des bons souvenirs tout sa!!

y' a des trucs que j' ai pas encore étudier mais je croit comprendre lol

Perseus tu serai pas prof de math par hasard ?


PS: pour ceux qui aurait pas compris c'est ironique.
PPS: Je suis en plein dans les suites geométriques ^^.

Dans un Triangle ABC rectangle en A, on a pour calculer les Angles et les côtés du Triangle : SOH CAH TOA (mémotechnique).

Propriétés :

- L'angle droit mesure 90°.
- La somme des angles de tout Triangle est 180°
L'angle  mesure 90°, si l'angle B mesure 50°, alors l'angle C mesure 40° (180 - 90 - 50 = 40).
- Le côté opposé à l'angle Droit est l'Hypoténuse, le plus grand côté d'un triangle rectangle.

Application numérique avec Mesure d'angle = 20° ,pour exemple :

SOH : Sinus(20°) = Longeur du côté opposé à l'angle de 20° / Hypoténuse.

CAH : Cosinus(20°) = Longeur du côté adjacent à l'angle de 20° / Hypoténuse.

TOA : Tangente(20°) = Long du côté opposé à l'angle de 20° / Long du côté adjacent de ce même angle.

Le côté opposé d'un angle, fait face à l'angle sans le toucher.
Le côté adjacent d'un angle, est le côté de l'angle qui le forme, en touchant son sommet, et qui n'est pas l'hypoténuse.

Dernières Epreuves...pour le Brevet.. Lundi et Mardi .. Bon Courage

Rappels :

Longueur du segement AB = xB - xA
Dans un repère orthonormé, AB = (xB - xA) + (yB - yA)

Bien perseur notre prof de math ^^
Et bon courage a tous ceux et celle qui passent leur brevet

Excercices de Rentrée

Résoudre dans R :

(6 - 7x)² = 81x²

Simplifier sans l'exposant (la puissance) :

9^3/4 (9 à la puissance 3/4)

Une prime en Ressource pour ceux qui trouvent

pour le 2 ème c'est 3^3/2 et pour le 1 er j'ai la fleme de calculer...

:jocolor: eheh pas mal...mais pour le 2ème j'ai dit de simplifier SANS l'EXPOSANT...c'est-à-dire qu'on doit trouver une résultat numérique ENTIER ou sous forme de fraction, mais du 1er degré...ex : 10 ou 4/3 ou encore 2 racine de 5...pas de puissance

Salut, besoin d'aide

Voilà l'exo sur les fonctions affines et linéaires ( 3ème )

Représenter graphiquement sur des figures séparées les fonctions :

a. f : x -> -3x b. g : x -> 3x + 1

Ioooo Salut Seigneur Shadows, Anciens Guide SE, et toujours Membre du Perseus Cercle, en tant qu'Ancien Dirigeant SE

Alors, Nous sommes ici dans la Partie Cours de Maths SE :

La Représentation des fonctions que tu indiques, consiste à tracer GRAPHIQUEMENT les points vérifiant les dites fonctions.

Quand on rejoins tous les points entre eux, on obtient une droite ou une courbe représentant donc la Fonction !

Représenter une Fonction, consiste donc :
1- à trouver plusieurs points susceptibles de vérifier l'équation de la fonction, par le calcul.
2- à positionner ces points dans un repère graphique.
3- à relier les points entre eux par des traits graphiques.

A/ Représenter graphiquement la fonction f, définit par f: x --> -3x

Il s'agit ici d'une fonction LINEAIRE, car la fonction est de la forme : f(x) = ax , avec
x = antécédent
a = coefficient de proportionalité, dit aussi multiplicateur, appelé aussi directeur, pour les équations de droite justement.
f(x) = y = image

Citation :

Rappel : une fonction est une Relation de R dans R qui associe une valeur x à une valeur y, par la dite fonction, consistant à appliquer à x une série d'opérations, qui transformerons x en y
x et y représente les coordonnées des points vérifiant l'équation de la Droite, en placant par convention x devant y : Point A de coordonnées (x ; y).

Donc f(x) = -3x est linéaire, car l'image (y) est directement fonction de l'antécédent (x). Si x = 0 , y = 0 !
f(x) = y , signifit que la fonction f(x), appelé "f de x", a pour image y et antécédent x.
x et y sont les coordonnées des points vérifiant la fonction, c'est-à-dire son équation : y = ax , pour les fonctions linéaires et y = ax + b , pour les fonctions affines.

Ici f(x) a pour équation : y = -3x , appelé aussi équation de droite, car les fonctions linéaires et affines sont représentées par des droites, car les écarts des images sont proportionnelles aux écarts des antécédents... les points sont parfaitement alignés.

1- CALCULONS LES POINTS

Pour f(x) = -3x , on calcule les points dont les coordonnées (antécédents ; images) vérifient l'équation de la fonction, c'est-à-dire : y = -3x !

ex : Est-ce que le point A de coordonnées (1 ; 2) vérifie l'équation ?
- On remplace dans l'équation les inconnues (x ; y) par les coordonnées données, et on vérifie si l'égalité reste vraie...
* équation (égalité avec des inconnues) : y = -3x
* égalité : 2 = -3 x 1 FAUX, l'égalité n'est pas vrai, le point A ne vérifie donc pas l'équation, il n'appartient donc pas à la droite représentant la fonction f(x) = -3x !

Pour trouver à coup sûr les points nécéssaires, il suffit d'imposer une valeur pour l'une des coorodnnées inconnues, et dans déuire l'autre :

soit x = 1 , alors y = -3 x 1 , soit y = -3 ET voilà les coordonnées (1 ; -3) d'un 1er point vérifiant la fonction et donc appartenant à la Droite d'équation : y = -3x

- Pour tracer une droite, il nous faut au minimum 2 points !

Pour le 2ème point, je pose x = 2 (par exemple), soit y = -3 x 2 , alors y = -6 ; le deuxième point aura pour coordonnées (2 ; -6).

On voit que cette fonction a pour coefficient directeur une valeur négative (-3), la droite sera donc décroissante... plus x augmente, plus y diminue !

2- PLACONS LES POINTS TROUVES DANS LE REPERE

J'ai mes 2 points, disons E (1 ; -3) et P (2 ; -6).
Je n'ai plus qu'à les placer dans un repère graphique,
- quelconque : par 2 axes non perpendiculaires, et gradués différemment.
- orthogonal : par 2 axes perpendiculaires, et gradués différemment.
- orthonormé ou orthonormal : par 2 axes perpendiculaires, ayant la même graduation (les unités de mesure ont la même longueur).

L'axe horizontal, représente l'axe des Abscisses, correspondant aux valeurs x.
L'axe vertical, représente l'axe des Ordonnées, correspondant aux valeurs y.
Les deux axes se croisent au point 0 de coordonnées (0 ; 0), appelé le centre du repère, l'origine du repère.

Placer un point de coordonnées ( 2 ; 3 ) revient comme pour la "Bataille navale" à se positionner en 2 sur l'axe des abscisses (horizontal) et à monter en 3 par rapport à l'axe des ordonnées (vertical). Si la valeur y est négative, comme ici (-3), alors on descend à -3, en partant toujours de l'abscisse 2 par exemple, et en se déplacant parallèlement à l'axe des orodonnées.

3- TRACONS LA DROITE OU LA COURBE RELIANT LES POINTS

Une fois mes 2 points placés, je trace à la règle, la Droite qui les rejoints, passant par eux.
Attention, le tracé doit dépasser les points, sinon, c'est un segment entre les 2 points et non une droite !

Et voilà, j'ai représenté graphiquement la fonction f(x) = -3x , par une droite d'équation y = -3x , qui passe obligatoirement par l'origine du repère, car elle représente une fonction linéaire ; on voit que pour x = 0, y = 0 !

B/ Représenter graphiquement la fonction f, définit par f: x --> 3x + 1

Cette fonction f(x) = 3x + 1 , a donc pour équation de droite : y = 3x + 1.

C'est une fonction AFFINE, car elle est de la forme : y = ax + b ,
avec :
y = image (ordonnée)
a = coefficient directeur (multiplicateur, de proportionnalité)
x = antécédent (abscisse)
b = ordonnée à l'origine, car b est la valeur de l'ordonnée y, quand x est à l'origine du repère, c'est-à-dire quand x = 0.
b est toujours différent de 0 évidemment, sinon y = ax + b reviendrait à y = ax + 0 et donc y = ax : fonction linéraire !

Les fonctions affines ne passent JAMAIS par l'origine du repère, car pour x = 0 ; y = b !
Ce sont aussi des droites.
2 fonctions linéaires ou affines ayant le même coeffiicient directeur sont parallèles !

1- CALCULONS LES POINTS

1er point
Soit x = 1 , alors y = 3x1 + 1 ; y = 4 _ (1 ; 4)
2ème point
Soit x = 2 , alors y = 3x2 + 1 ; y = 7 _ (2 ; 7)
Soit plus compliqué : y = 7 , alors 7 = 3x + 1 , soit 7 -1 = 3x , soit 6 = 3x , alors 6/3 = x ; x = 2 _ (2 ; 7).

2- Placement et Représentation : Idem, sauf que cette droite ne peut pas passer par le centre du repère !

La représentation graphique de la fonction f(x) est une droite ou une courbe passant par les points vérifiant l'équation de y = f(x)

Kell Tainer a écrit:

pour le 2 ème c'est 3^3/2 ...

Soluce : 3.√3
Bonne Rentrée...

Le Défi Matheux de Perseus à Tous :

Calcule la Limite, quand x tend vers -00, de √(x² + 1) + x